Induksi Matematika – Matematika merupakan ilmu yang membantu kehidupan manusia. Ilmu matematika akan membantu seseorang untuk melatih kemampuannya dalam berpikir kreatif, kritis serta mampu menyelesaikan masalah. Hingga kini, materi mengenai matematika terus berkembang.

Salah satunya adalah induksi matematika yang di gunakan untuk memasukan data pada suatu program. Contohnya seperti, induksi matematika yang di gunakan untuk membuat program komputer serta teknologi ATM.

Menurut buku berjudul Explore Matematika Jilid 2 konserp dari induksi matematika di gunakan dalam komputer. Program yang benar akan mengeluarkan hasil yang sesuai.

Apabila program menampilkan pesan error, maka pengguna memasukan data salah. Apa pengertian dari induksi matematika dan bagaimana konsep dasar yang di gunakan? Simak penjelasannya dalam artikel berikut ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang di gunakan untuk menentukan kebenaran. Metode induksi matematika di gunakan dari suatu pernyataan yang di berikan dalam bentuk bilangan yang asli.

Selain itu, induksi matematika juga dapat di artikan sebagai cara pembatalan atau pernyataan matematika. Induksi matematika di gunakan rumus sebagai suatu metode pembuktian atas suatu pernyataan.

Metode induksi matematika adalah salah satu kegiatan penalaran deduktif yang memiliki kaitan dengan pembuktian matematika. Dalam ilmu matematika, induksi matematika adalah suatu dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.

Pembuktian dari suatu pernyataan sistematis dengan induksi matematika di lakukan pada objek matematika yang memiliki sifat diskrit. Contohnya seperti teori bilangan, teori graf dan kombinatorika.

Para matematikawan menggunakan induksi matematika untuk dapat menjelaskan pernyataan matematika yang telah di ketahui kebenarannya. Prinsip dari induksi matematis, dapat di jelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau di sebut asumsi induktid serta langkah induksi dasar.

Penggunaan induksi matematika, utamanya di laksanakan pada tiga jenis masalah matematika di antara adalah seri umum, habis di bagi dua dan ketikdaksetaraan. Kemampuan untuk pembuktian induksi matematikan secara benar, di gunakan pada suatu konsep matematika dan di tentukan melalui pemahaman relasional.

Sejarag Penggunaan Induksi Matematika

Teorema matematika di dasarkan pada sekumpulan definisi serta aksioma. Pembukti dari seluruh jenis teorema di laksanakan dengan menggunakan aksioma serta definisi atau menggunakan teorema yang telah terbukti kebenarannya.

Teorema dalam ilmu matematika tidak di dasarkan pada hasil eksperimen yang tidak dapat di buktikan kebenarannya. Matematikan tidak dapat menerima argumentasi, bahwa suatu pernyataan matematis merupakan benar hanya melalui eksperimen serta observasi.

Pierre de Fermat membuktikan bahwa pada konjektur fermat, persamaan tidak dapat menghasilkan bilangan bulat dengan bentuk positif pada sembarang bilangan bulat dengan nilai lebih dari dua.

Menurut para matematikawan, di perlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermar. Di tahun 1994, konjektur Fermat di buktikan oleh seorang matematikawan berkebangsaan inggris bernama Andrew Wiles.

Sejarah dari penggunaan induksi matematika di jelaskan oleh Bussey dalam artikelnya yang di tulis pada tahun 1917. Dalam artikel tersebut, ia menjelaskan bahwa proses induksi matematika telah di gunakan pertama kali oleh D. Franciscus Maurolicus (1494-1575).

Pada saat itu, Maurolicus menggunakan metode induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut – turut menambahkan dua pada bilangan ganjil pertama yaitu 1.

Pembuktian lain yang berhasil di peroleh Maurolicus dengan induksi adalah jumlah n dan bilangan ganjil pertama merupakan kuadrat n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal atau Maurolicus tidak pernah menggunakan istilah induksi.

Istilah induksi baru pertama kali di gunakan pada tahun 1956 oleh John Wallis. Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum, Wallis menggunakan istilah per modum inductions.

Kemudian pada tahun 1838, Agustus de Morgan memperkenalkan istilah induksi matematika pada publik dengan menulis artikel berjudul induction untuk jurnal Penny Cyclopedia.

Di tahun 1889, Giuseppe Peano merumuskan prinsip induksi matematika dalam lima aksioma. Dalam kelima aksioma tersebut, di sajikan definisi lengkap mengenai bilangan asli. Kelima aksioma tersebut adalah sebagai berikut:

1. 1 adalah bilangan asli
2. Ada satu bilangan turutan yang memiliki sifat unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
3. Bilangan turutan yang sama mustahil di temukan di dua bilangan asli yang berbeda – beda.
4. 1 bukanlah bilangan turutan dari seberang bilangan asli.
5. Sifat yang di miliki oleh bilangan 1 serta turutan semua adalah bilangan asli, pasti di miliki juga oleh seluruh bilangan asli.

Jenis – Jenis Induksi Matematika

Ada berbagai macam permasalah matematis yang dapat di selesai matematis yang dapat di selesaikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Oleh sebab itulah, metode induksi matematika di bedakan menjadi tiga jenis di antara adalah deret, pembagian dan pertidaksamaan. Berikut penjelasannya.

1. Deret

Pada jenis deret, pada umumnya persoalan induksi matematika di temui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga pada persoalan deret harus di buktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke k serta terakhir suku ke (k+1).

Pada jenis deret, ada beberapa hal yang perlu kalian perhatikan dengan seksama. Antara lain adalah sebagai berikut:

Apabila

 

Contohnya adalah berikut:

Buktikan bahwa 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing – masing dari n bilangan asli.

berdasarkan prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk masing – masing n bilangan asli.

2. Pembagian

Jenis induksi matematika pembagian dapat di jumpai pada berbagai macam soal yang menggunakan kalimat berikut ini:

• A habis di bagi dengan B
• B faktor dari A
• B membagi A
• A adalah kelipatan dari B

Keempat ciri tersebut, menjadi petunjuk bahwa pernyataan tersebut dapat di selesaikan dengan menggunakan induksi matematika jenis pembagian. Hal – hal yang perlu di ingat ialah apabila bilangan A habis di bagi dengan B, maka A habis di bagi dengan B, maka A=B.M dengan M adalah bilangan bulat.

Maka, jika p habis di bagi a serta q habis di bagi a, sehingga (p + q) juga akan habis di bagi a. Contohnya adalah, 4 habis di bagi 2 dan 6 habis di bagi 2, maka (4 + 6) pun akan habis di bagi dengan bilangan 2

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, maka terbukti bahwa 6n + 4 habis di bagi 5, untuk setiap bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat 4 apabila di jumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = b.m.

Misalnya, “10 habis di bagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Oleh sebab itu pernyataan “10 habis di bagi 5” dapat di tuliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.

3. Pertidaksamaan

Jenis pertidaksamaan di tandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari yang ada pada pernyataannya. Ada sifat – sifat yang seringkali di gunakan untuk menyelesaikan induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat tersebut adalah sebagai berikut:

a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c

a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc

a < b ⇒ a + c < b + c atau a b ⇒ a + c > b + c

Baca Juga: https://www.matematikamenjawab.com/

Konsep Dasar Induksi Matematika

Konsep dasar dari induksi matematika dapat di misalkan ketika ada seseorang meletakan domino yang berderet sangat panjang. Ketika ada orang yang menjatuhkan domino pertama ke arah domino kedua, maka domino ketiga, keempat maupun kelima dan seterusnya akan ikut jatuh.

Konsep dasar dari induksi matematika tersebut sederhana seperti efek domino. Dalam konteks induksi matematika, ketika seseorang hendak membuktikan atau menguji suatu rumus, maka ia harus memastikan bahwa rumus tersebut benar untuk seluruh bilangan, dalam hal ini yang di maksud adalah bilangan asli.

Contohnya apabila ada satu deret bialngan asli 1,2,3,4,5,…, n. Maka jumlah deret bilangan (Sn) untuk n = 3 adalah 1+2+3 = 6. Jika n = 4, S4 = 1+2+3+4 = 10. Apabila n = 5, S5 = 15.

Dari pola tersebut, jika di jumlahkan seluruh bilangan tersebut mulai dari 1 hingga n, maka akan di peroleh rumus berikut ini:

Akan tetapi, masalahnya adalah apakah rumus tersebut berlaku secara universal dan berlaku untuk semua kasus atau hanya pada kasus tertentu saja? Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa rumus tersebut, kalian semua bisa menggunakan prinsip efek domino.

Jika domino pertama jatuh, maka domino kedua pun harus jatuh dan domino ketiga pun harus ikut jatuh. Begitu pula dengan domino keempat dan seterusnya. Dari prinsip tersebut, maka dapat di bahasakan secara sistematis dengan dua langkah berikut ini:

Basic Step: untuk n = 1, rumus S1 adalah benar.

Inductive Step: Jika rumus tersebut benar untuk n = k, maka rumus tersebut juga benar untuk n = k+1, dengan k≥1.

Dengan mengacu pada efek domino secara matematis, maka kalian perlu memasukan n = 1 pada rumus Sn. Maka hasilnya adalah berikut ini:

Maka, untuk n = 1, rumus di atas adalah benar. Langkah selanjutnya kalian perlu menguji dengan memasukkan n = k dalam rumus Sn sehingga akan di peroleh rumus di bawah ini:

Sementara itu, untuk inductive step, apabila rumus tersebut benar untuk n = k, maka ia pun harus di benarkan untuk n = k+1. Lalu kalian dapat memasukkan n = k + 1 ke dalam rumus tersebut dan akan di dapatkan rumus berikut:

Lalu, kalian bisa memperhatikan, jumlah deret di bawah ini:

Kemudian kalian bisa mengelompokan kembali Sk+1 menjadi berikut ini:

Sk+1=[1+2+3+…+k] + (k + 1)

[1+2+3+…+k] itu sama seperti Sk, sementara itu Sk = (k(k+1))/2. Kemudian kamu bisa mencoba memasukkan nilai Sk dalam Sk+1 dengan deretnya yang telah di kelompokkan ulang, maka bentuk rumusnya menjadi berikut ini.

Sk+1 = Sk + (k + 1)

Jadi, rumus penjumlahan deret Sn di atas benar untuk n = k+1.

Perlu di ketahui bahwa basic step adalah bagian paling dasar dalam pembuktian induksi atau induksi matematika. Tanpa adanya basic step, pembuktian dengan menggunakan cara induksi tidak akan menjadi sempurna.

Pernyataan inductive step memiliki fungsi untuk memastikan bahwa bilangan asli apa saja, setelah n = 1 dapat berlaku untuk rumus maupun pernyataan matematis yang akan di buktikan oleh seseorang. Terlebih lagi apabila kamu ingin memastikan bahwa suatu rumus atau pernyataan matematis itu berlaku secara universal.

Kemudian, untuk inductive step, bagaimana cara kamu bisa mengetahui bahwa suatu rumus P(n) dengan n=k, rumus tersebut berlaku untuk n = k + 1. Pada pembuktian inductive step, kamu dapat memunculkan Sk+1 yang sama seperti Sk di tambah dengan (k+1), Sk+1 = Sk + (k + 1) . Berangkat dari pernyataan matematis tersebut, maka kamu telah membuktikan bahwa Sn itu benar untuk n = k + 1.

Itulah penjelasan tentang induksi , pengertian, sejarah, konsep dasar dan jenis – jenisnya. Perlu di jadikan catatan, bahwa induksi hanya di gunakan untuk membuktikan kebenaran atas suatu pernyataan atau rumus tertentu dan bukannya untuk menurunkan rumus.

Lebih tegasnya, induksi tidak dapat di gunakan untuk menurunkan atau menemukan suatu rumus. Lalu, cara paling mudah untuk memahami prinsip kerja induksi adalah dengan mengamati efek domino sebagai konsep dasar dari induksi .

Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat untuk kalian semua. Kalian bisa mempelajari ilmu matematika dan rumus matematika lainnya dengan membaca buku.